Algébre de Bool

I. George Boole : Le Père de la Logique Moderne

• George Boole (1815–1864) était un mathématicien et logicien anglais.
• Contribution Majeure : Il est le créateur de la logique moderne, formalisée dans son ouvrage de 1854, An Investigation of the Laws of Thought.

L’objectif principal de Boole était de :

1. Traduire des idées, des concepts, des propositions et des raisonnements logiques en expressions mathématiques (équations).
2. Appliquer à ces équations des lois et des règles algébriques précises.
3. Retraduire le résultat mathématique en termes logiques.

Ce processus permet d’analyser et de vérifier la validité des raisonnements de manière mécanique et rigoureuse.

II. L’Algèbre de Boole (Algèbre Binaire)

Les Propriétés Fondamentales

Ces opérations satisfont à des propriétés essentielles, similaires mais adaptées à l’algèbre classique :

Propriété	Règle du ET (Conjonction)	Règle du OU (Disjonction)*
Commutativité	$A\cdot B=B\cdot A$	$A+B=B+A$
Associativité	$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$	$(A+B)+C=A+(B+C)$
Distributivité	$A\cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$	$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)$
Idempotence	$A\cdot A=A$	$A+A=A$

1. Commutativité

La propriété de commutativité affirme que l’ordre des termes n’affecte pas le résultat final, que ce soit pour l’opération ET ou pour l’opération OU.

• Pour l’opération ET (Conjonction) : $A\cdot B=B\cdot A$. Cela signifie qu’obtenir un résultat Vrai en disant “A et B” est exactement la même chose que de dire “B et A”. L’ordre de vérification des conditions est sans importance.
• Pour l’opération OU (Disjonction) : $A+B=B+A$. De même, si le résultat est Vrai lorsque vous avez “A ou B”, il le sera aussi si vous inversez l’ordre pour avoir “B ou A”.

2. Associativité

La propriété d’associativité s’applique lorsque vous enchaînez plusieurs fois la même opération. Elle stipule que la manière dont vous regroupez les termes n’a pas d’impact sur le résultat.

• Pour l’opération ET : $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$. Si vous avez trois conditions, vous pouvez évaluer la condition A ET B en premier, puis mettre ce résultat en ET avec C, ou bien évaluer B ET C en premier et mettre le résultat en ET avec A. Le résultat logique sera le même.
• Pour l’opération OU : $(A+B)+C=A+(B+C)$. Le même principe s’applique au OU : peu importe si vous mettez “A ou B” entre parenthèses pour l’évaluer en premier, ou si vous mettez “B ou C” entre parenthèses, le résultat final restera logiquement équivalent.

3. Distributivité

La propriété de distributivité montre comment l’opération ET et l’opération OU interagissent lorsque l’une est imbriquée dans l’autre.

• Distributivité de ET sur OU : $A\cdot (B+C)=(A\cdot B)+(A\cdot C)$. C’est la forme habituelle que l’on retrouve en algèbre classique. Elle permet de “développer” l’expression en distribuant le $A$ sur les deux autres termes.
• Distributivité de OU sur ET : $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)$. C’est une propriété spécifique à l’algèbre de Boole (et fausse dans l’arithmétique ordinaire !). Elle permet de factoriser ou de développer une expression où le OU est l’opération principale.

4. Idempotence

La propriété d’idempotence est très simple. Elle signifie que la répétition d’une condition n’a aucune utilité logique.

• Pour l’opération ET : $A\cdot A=A$. Si vous dites “Il pleut ET il pleut”, cela est logiquement équivalent à dire simplement “Il pleut”. Répéter la condition n’en change pas la valeur de vérité.
• Pour l’opération OU : $A+A=A$. De même, si vous dites “Il fait jour OU il fait jour”, cela est logiquement équivalent à dire simplement “Il fait jour”.

III. La Tautologie (Lois Logiques)

Définition

La tautologie est l’ensemble de toutes les lois logiques.

En logique formelle, une tautologie est une proposition composée qui est toujours Vraie (1), quelle que soit la valeur de vérité (0 ou 1) de ses propositions simples.

Exemple Classique de Tautologie : La Loi du Tiers Exclu : $A+\bar{A}=1$

• Interprétation : Une proposition est soit Vraie ($A$), soit Fausse ($\bar{A}$). Il n’y a pas de troisième possibilité. Le résultat de l’affirmation ($A$ OU $\text{NON }A$) est toujours Vrai.

Lois Logiques Célèbres (Tautologies Particulières)

Les lois les plus utilisées sont souvent elles-mêmes des tautologies :

• Lois de De Morgan : Elles sont cruciales pour simplifier les circuits et les expressions logiques.

  • $\overline{A\cdot B}=\bar{A}+\bar{B}$ (NON (A ET B) = (NON A) OU (NON B))
  • $\overline{A+B}=\bar{A}\cdot \bar{B}$ (NON (A OU B) = (NON A) ET (NON B))

• Loi de la Double Négation : $\overline{\bar{A}}=A$